Question

【题目】如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．

（1）求证：△ODM∽△MCN；

（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；

（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）存在△MCN与△ODM相似，证明见矩形；

（2）R=；

（3）△CMN的周长是一个定值，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据切线的性质得出∠OMN=90，从而证得∠OMD=∠MNC；则△ODM∽△MCN；

（2）由DM=x，设OA=OM=R；则得出OD，由勾股定理得R与x的关系；

（3）可分为两种解法得出答案．由△ODM∽△MCN，得，用含x的式子表示出CN，MN，从而得出△CMN的周长是一个定值．

试题解析：（1）存在△MCN与△ODM相似，证明如下：

∵MN切⊙O于点M，∴∠OMN=90°，∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，∴∠OMD=∠MNC，又∵∠D=∠C=90°，∴△ODM∽△MCN．

（2）在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R，∴OD=AD﹣OA=8﹣R，由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，

∴64﹣16R+R2+x2=R2，∴R=．

（3）∵CM=CD﹣DM=8﹣x，OD=8﹣R=8﹣，且有△ODM∽△MCN，∴，∴代入得到：CN=．

同理，∴代入得到：MN=，∴△CMN的周长=CM+CN+MN=（8﹣x）++=（8﹣x）+（x+8）=16，

在点O的运动过程中，△CMN的周长始终为16，是一个定值．