Question

【题目】如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．

（1）求证：AD是半圆O的切线；

（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；

（3）若∠CDE=30°，OB=2，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可；
（2）由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°-54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果．

试题解析：（1）连接OD，BD，

∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°;
又∵OD是圆O的半径，∴AD是半圆O的切线；

（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD=∠COD
∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO=2∠CDE，
∴∠A=2∠CDE；

（3）解：∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°-54°=126°，
∵OB=2，∴