Question

【题目】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，且AC＝4．过点O作直径DE⊥AC，垂足为点P，过点B的直线交AC的延长线和DE的延长线于点F、G．

（1）求线段AP、CB的长；

（2）若OG＝9，求证：FG是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）BC＝2；（2）见解析；

【解析】试题分析：

（1）由已知条件根据“垂径定理”易得AP=CP=AC=，结合OA=3可得OP=1，结合AB是⊙O的直径可得OP=BC，由此可得BC=2；

（2）由OG=9，OA=3，OB=3，OP=1，可得，结合∠BOG＝∠POA，可得△BOG∽△POA，从而可得∠GBO＝∠OPA＝90°，由此可得得到FG是⊙O的切线.

试题解析：

（1）∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AC，

∴AP＝PC＝AC=，

又∵OA＝3，

∴OP＝1

又AB是⊙O的直径，

∴O为AB的中点，

∴OP＝BC，

∴BC＝2OP＝2．

（2）∵OG=9，OA=3，OB=3，OP=1，

∴，，

∴，

∠BOG＝∠POA，

∴△BOG∽△POA，

∴∠GBO＝∠OPA＝90°

又∵点B在⊙O上，

∴FG是⊙O的切线.