Question

【题目】如图1，已知在平面直角坐标系中，A（，0），B（4，0），C（0，3），过点C作CD∥x轴，与直线AD交于点D，直线AD与y轴交于点E，连接AC、BD，且tan∠DAB=．

（1）求直线AD的解析式和线段BD所在直线的解析式．

（2）如图2，将△CAD沿着直线CD向右平移得△C1A1D1，当C1A1⊥EA1时，在x轴上是否存在点M，使△A1D1M是以A1D1为腰的等腰三角形，若存在，求出△A1D1M的周长；若不存在，请说明理由．

（3）如图3，延长DB至F，使得BF=DB，点K为线段AD上一动点，连接KF、BK，将△FBK沿BK翻折得△F′BK，请直接写出当DK为何值时，△F′BK与△DBK的重叠部分的面积恰好是△FKD的面积的．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣．y=2x﹣8（2）M1（﹣，0），M2（，0），M3（，0）（3） 或

【解析】

（1）如图1中，作DH⊥x轴于H．解直角三角形求出AH，即可求出点D坐标，只可以待定系数法即可解决问题；

（2）求出直线EA1的解析式可得A1坐标，分两种情形当A1D1=AM=5时，当D1A1=D1M时，分别求解即可解决问题；

（3）分两种情形，①若翻折后，点F′在直线AD上方，记F′B与DK交于点S，连接F'D，只要证明四边形DBKF′是平行四边形，可得KF=KF′=DB=，设K（m，m﹣），F（，﹣3），可得（m﹣）2+（m﹣+3）2=（）2，解方程即可；

②若翻折后，点F′在直线DA下方，记F′K与BD交于点S，连接DF′，如图4，四边形BKDF′是平行四边形，可得DK=BF′=BF=BD=．

（1）如图1中，作DH⊥x轴于H．

∵CD∥OH，OC∥DH，∴四边形CDHO是平行四边形．

∵∠DHO=90°，∴四边形CDHO是矩形，∴DH=OC=3，CD=OH．在Rt△ADH中，tan∠DAH==，∴AH=4，OH=OA+AH=，∴D（，3），设直线AD的解析式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线AD的解析式为y=x﹣．

设直线BD的解析式为y=k′x+b′，则有，解得：，∴直线BD的解析式为y=2x﹣8．

（2）如图2中，∵直线AD的解析式为y=x﹣．

∵C（0，3），A（，0），∴直线AC是解析式为y=﹣2x+3．

∵AC∥A1C1，A1C1⊥EA1，∴AC⊥EA1，∴直线EA1的解析式为y=x﹣，∴A1（，0）．

分两种情况讨论：

①当A1D1=AM=5时，以A1为圆心，A1D1为半径作圆，交x轴于M1，M2，则M1（﹣，0），M2（，0）；

②当D1A1=D1M时，过D1作D1H⊥x轴于H，AD==5，∴A1D1=AD=5．

∵ HD1=3，∴A1H=4，∴A1M=2 A1H =8，∴OM=OA1+A1M==，∴M3（，0）．

综上所述：满足条件的点M的坐标M1（﹣，0），M2（，0），M3（，0）．

（3）如图3中，①若翻折后，点F′在直线AD上方，记F′B与DK交于点S，连接F'D，S△KSB=S△DFK=S△DBK=S△BKF′′，即S△DBK=S△F′BK=S△BKF，∴SB=SF′，KS=DS，∴四边形DBKF′是平行四边形，∴KF=KF′=DB=，设K（m，m﹣）．

∵F（，﹣3），∴（m﹣）2+（m﹣+3）2=（）2，解得：m=或﹣，∴K（），∴DK==

②若翻折后，点F′在直线DA下方，记F′K与BD交于点S，连接DF′，如图4．

∵S△KBS=S△DGK=S△DBK=S△KBF′，即S△BKS=S△BSF′=S△DSK，∴KS=SF′，SB=SD，∴四边形BKDF′是平行四边形，∴DK=BF′=BF=BD=．

综上所述：满足条件的DK的值为或．