Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)，点B(，0)，连接AB．若对于平面内一点C，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”．

（1）在点C1(－2，)，点C2(0，－2)，点C3(，)中，线段AB的“等长点”是点 ；

（2）若点D(m，n)是线段AB的“等长点”，且∠DAB＝60°，求m和n的值；

（3）若直线上至少存在一个线段AB的“等长点”，直接写出k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）C1，C3 ；（2）m＝，n＝0或m＝，n＝3．（3）

【解析】分析：（1）直接利用线段AB的“等长点”的条件判断；

（2）分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n；

（3）先判断出直线y=kx+3与圆A，B相切时，如图2所示，利用相似三角形的性质即可求出结论

本题解析:

（1）C1，C3

（2）如图①，∵点D(m，n)是线段AB的“等长点”，且∠DAB＝60°，

∴△ABD是等边三角形．∵OA＝3，

OB＝，∠AOB＝90°，∴tan∠ABO＝ ，

∴∠ABO＝60°，∠BAO＝30°，

∴点D在x轴上，且DB＝AB＝2，

∴m＝-，n＝0．

如图②，同理可知△ABD是等边三角形，∵∠DAB＝60°，∠BAO＝30°，∴∠DAO＝90°，又∵DA＝AB＝2，

∴m＝2，n＝3．

综上所述，m＝-，n＝0或m＝2，n＝3．

（3）如图2,∵直线y=kx+3k=k(x+3)，

∴直线y=kx+3k恒过一点P(3,0)，

∴在Rt△AOP中,OA=3,OP=3，

∴∠APO=30°，

∴∠OPA=60°，

∴∠BAP=90°，

当PF与⊙B相切时交y轴于F，

∴PA切⊙B于A，

∴点F就是直线y=kx+33√k与⊙B的切点，

∴F(0,3)，

∴33√k=3，

∴k=3√3，

当直线y=kx+3k与⊙A相切时交y轴于G切点为E,∴∠AEG=∠OPG=90°，

∴△AEG∽△POG，

∴，

∴，

∴k= (舍)或k=，

∵直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，

∴.