Question

【题目】如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．

（1）求证：AE＝CD；

（2）试判断△BMN的形状，并说明理由；

（3）设CD、AE相交于点G，求∠AGC的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△BMN为等边三角形，理由见解析；（3）∠AGC＝120°．

【解析】

（1）由△ABD与△BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到△ABE≌△DBC即可解决问题;（2）△BMN为等边三角形，理由为：由第一问△ABE≌△DBC，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出△EMB≌△CNB，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△BMN为等边三角形;（3）利用全等三角形的性质，证明∠DGM=∠ABM=60°即可．

（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE，

∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，

∴∠ABE＝∠DBC＝120°，

在△ABE和△DBC中， ，

∴△ABE≌△DBC（SAS）．

∴AE＝CD．

（2）解：△BMN为等边三角形，理由为：

∵△ABE≌△DBC，

∴∠AEB＝∠DCB，

又∠ABD＝∠EBC＝60°，

∴∠MBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

即∠MBE＝∠NBC＝60°，

在△MBE和△NBC中， ，

∴△MBE≌△NBC（ASA），

∴BM＝BN，∠MBE＝60°，

则△BMN为等边三角形．

（3）解：∵△ABE≌△DBC，

∴∠EAB＝∠BDC，

∵∠AMB＝∠DMG，

∴∠ABM＝∠DGM，

∵△ABD是等边三角形，

∴∠ABM＝60°，

∴∠DGM＝∠ABM＝60°，

∴∠AGC＝120°．