Question

【题目】综合与实践

如图1，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点、．我们可以发现：反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形．

（1）填空： ， ， ， ；

（2）利用所给函数图象，写出不等式的解集 ；

（3）如图2，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点、．试说明以、、、为顶点的四边形一定是平行四边形，但不可能是正方形；

（4）如图3，当点在点的左上方时，过作直线轴于点，过点作直线轴于点，交直线于点，若四边形的面积为．求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；；；；（2）或；（3）见解析；（4）点的坐标为

【解析】

（1）由题意直接把点A（3，2）代入一次函数及反比例函数的解析式求出k1及a的值，再根据反比例函数的图象关于原点对称可得出m、n的值；

（2）由题意直接根据两函数的图象即可得出结论；

（3）根据题意利用“反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形”得：OA=OB，OP=OQ，故以、、、为顶点的四边形的对角线互相平分，所以以、、、为顶点的四边形一定是平行四边形，并由，对角线与不可能互相垂直，即可得出以、、、为顶点的四边形不可能是菱形，也就不可能是正方形；

（4）根据题意设点，由题意可知四边形是矩形，故可得出OM×PM=6，ON×AN=6，根据可得出其面积，可求出ONOM的值，由此可得出结论．

解：（1）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（3，2），

∴，解得，解得a=6．

∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

∴B（-3，-2），

∴m=-3，n=-2．

故答案为：；；； .

（2）∵A（3，2）、B（-3，-2），

∴当x＜-3或0＜x＜3时，.

故答案为：x＜-3或0＜x＜3.

（3）∵反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形，

∴，，

∴以、、、为顶点的四边形的对角线互相平分，所以以、、、为顶点的四边形一定是平行四边形．

∵点、都在第一象限，

∴，对角线与不可能互相垂直，

∴以、、、为顶点的四边形不可能是菱形，也就不可能是正方形．

（4）设点，由题意可知四边形是矩形．

∵和都在双曲线上，

∴，，

∴，

又，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴，，

∴点的坐标为．