Question

【题目】如图，CD 和 BE 是△ABC 的两条高，∠BCD＝45°，BF＝FC，BE与 DF、DC分别交于点 G、H，∠ACD＝∠CBE．

(1)证明：AB＝BC；

(2)判断 BH 与 AE 之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)结合已知条件，观察图形，你还能发现什么结论？请写出两个（不与前面结论相同）．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)BH＝2AE;(3)DF 平分∠BDC，DF⊥BC，DG＝DH 等.

【解析】

(1)由CD和BE是ΔABC的两条高,于是得到∠A=∠ACD+∠A=90,于是得到∠ABE=∠ACD,因为∠ACD=∠CBE,折叠∠ABE=∠CBE,通过ΔBAE≌ΔBCE,根据全等三角形的性质得到BA=BC,于是得到结论;

(2)根据等腰直角三角形的性质得到BD=DC证得ΔBDH≌ΔCDA,根据全等三角形的性质得到BH=AC,根据直角三角形的性质得到AC=2AE,BH=2AE,即可得到结论;

(3)根据等腰直角三角形的性质,即可得到DF平分∠BDC,DF⊥BC.根据等角的余角相等,即可得出DG=DH,

解：

（1）∵CD 和 BE 是△ABC 的两条高，

∴∠ACD+∠A＝90°＝∠ABE+∠A，

∴∠ABE＝∠ACD，

∵∠ACD＝∠CBE，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵∠BEA＝∠BEC＝90°，

在△BAE 与△BCE 中，

∴△BAE≌△BCE（AAS），

∴BA＝BC；

(2）BH＝2AE，理由：

∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，

∴BD＝DC，

∵∠BDH＝∠CDA＝90°， 在△BDH 与△CDA 中，

∴△BDH≌△CDA（AAS），

∴BH＝AC，

∵BE⊥AC，

∴AC＝2AE，

∴BH＝2AE；

（3）存在：DF 平分∠BDC，DF⊥BC，DG＝DH 等．理由：

∵△BCD 是等腰直角三角形，BF＝CF，

∴DF 平分∠BDC，DF⊥BC；

∵∠ABE＝∠CBE，∠BDH＝∠BFG＝90°，

∴∠BHD＝∠BGF＝∠DGH，

∴DG＝DH．