Question

【题目】如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D 是 AC 边上一动点， CE⊥BD 于 E．

(1)如图（1），若 BD 平分∠ABC 时，①求∠ECD 的度数；②求证：BD＝2EC；

(2)如图（2），过点 A 作 AF⊥BE 于点 F，猜想线段 BE，CE，AF 之间的数量关系并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)①22.5°;②见解析;(2) BE﹣CE＝2AF,理由见解析.

【解析】

(1)①根据等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45,再利用角平分线的定义解答即可;

②延长CE交BA的延长线于点G得出CE=GE,再利用AAS证明ΔABD≌ΔACG,利用全等三角形的性质解答即可;

(2)过点A作AH⊥AE,交BE于点H,证明ΔABH≌ΔACE,进而得出CE=BH,利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可.

解：（1）①∵在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠CBA＝45°，

∵BD 平分∠ABC，

∴∠DBA＝22.5°，

∵CE⊥BD，

∴∠ECD+∠CDE＝90°，∠DBA+∠BDA＝90°，

∵∠CDE＝∠BDA，

∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°；

②延长 CE 交 BA 的延长线于点 G，如图 1：

∵BD 平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE＝GE，

在△ABD 与△ACG 中，

,

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD＝CG＝2CE；

（2）结论：BE﹣CE＝2AF．

过点 A 作 AH⊥AE，交 BE 于点 H，如图 2：

∵AH⊥AE，

∴∠BAH+∠HAC＝∠HAC+∠CAE，

∴∠BAH＝∠CAE，

在△ABH 与△ACE 中，

∴△ABH≌△ACE（ASA），

∴CE＝BH，AH＝AE，

∴△AEH 是等腰直角三角形，

∴AF＝EF＝HF，

∴BE﹣CE＝2AF．