Question

【题目】已知：如图，点E是正方形ABCD中AD边上的一动点，连结BE，作∠BEG=∠BEA交CD于G，再以B为圆心作，连结BG．

（1）求证：EG与相切．

（2）求∠EBG的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）45°.

【解析】试题分析：（1）过点B作BF⊥EG，垂足为F，先证得△ABE≌△FBE，得出BF=BA，根据切线的判定即可证得结论；

（2）由△ABE≌△FBE得出∠FBE=∠ABE=∠ABF，然后根据切线长定理得出GF=GC，进而证得∠FBG=∠CBG=∠FBC，从而得出∠EBG=∠ABC=45°．

试题解析：（1）过点B作BF⊥EG，垂足为F，

∴∠BFE=90°

∵四边形ABCD是正方形∴∠A=90°，∴∠BFE=∠A，

∵∠BEG=∠BEA，BE=BE， ∴△ABE≌△FBE， ∴BF=BA，

∵BA为的半径，∴BF为的半径，∴EG与相切；

（2）由（1）可得△ABE≌△FBE，∴∠1=∠ABE=∠ABF，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠ABC=90°，∴CD是⊙O切线，

由（1）可得EG与相切，∴GF=GC，

∵BF⊥EG，BC⊥CD，∴∠2=∠CBG=∠FBC，

∴∠EBG=∠1+∠2= (∠ABF+∠FBC)= ∠ABC=45°