Question

【题目】△ABC和△DEF的顶点A与D重合，已知∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，∠FDE=90°，DF=DE=4．

（1）如图①，EF与边AC、AB分别交于点G、H，且FG=EH.设，在射线DF上取一点P，记： ，联结CP设△DPC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）在（1）的条件下，求当x为何值时PC//AB；

（3）如图②，先将△DEF绕点D逆时针旋转，使点E恰好落在AC边上，在保持DE边与AC边完全重合的条件下，使△DEF沿着AC方向移动当△DEF移动到什么位置时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当移动到AD=时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形．

【解析】试题分析：（1）首先证明△DFG≌△DEH（SAS），进而得出∠FDG=∠EDH，进而得出DF=||=x||=x||=4x，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，可得PH′=DP=2x，由y=S△PDC=DCPH′求出即可；

（2）由（1）知∠FDG=30°，得出∠FDG=∠DCP，以及DP=PC若PH⊥AB则M是DC的中点DM=6，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，利用cos∠FDG=求出AP的长，进而得出x的值；

（3）分别利用线段AD、FC、BC的长为斜边时求出符合条件的值即可．

试题解析：（1）如图①，过P作PH′⊥AC于H′．

∵DF=DE，

∴∠DFE=∠E

又∵FG=EH，

在△DFG和△DEH中

，

∴△DFG≌△DEH（SAS），

∴∠FDG=∠EDH，

∵∠FDE=90°，且∠FDE=∠FDG+∠EDH+∠BAC

∵∠BAC=30°，

∴∠FDG=30°，

∵DF=4，

∴||=4

∵=x=x，

∴DP=||=x||=x||=4x，

在Rt△DPH中，∠FDG=30°，

∴PH′=DP=2x，

∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，

∴AC=CD=12，

y=S△PDC=DCPH′=×122x=12x（x＞0）；

（2）∵PC∥AB，

∴∠BAC=∠DCP

∵∠BAC=30°，

∴∠DCP=30°，

由（1）知∠FDG=30°，

∴∠FDG=∠DCP，

∴DP=PC

若PH⊥AB，则M是DC的中点DM=6，

在Rt△DPH中，∠FDG=30°，

cos∠FDG===，

∴AP=4，

DP=AP=4x，

∴x=；

（3）如图②，

设AD=t，DC=12-t（0＜t＜12）

FC2=DF2+DC2=42+（12-t）2，

①AD2=FC2+BC2

t2=42+（12-t）2+36

解得：t=（FC至少等于4，故不合题意，舍去）

②BC2=FC2+AD2

36=42+（12-t）2+t2，无解，

③FC2=BC2+AD2

∴42+（12-t）2=36+t2

解得t=，

∴当△DEF移动到AD=时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形．