Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC，OC．
（1）求证：△OAP≌△OCP；
（2）若半圆O的半径等于2，填空： ①当AP=时，四边形OAPC是正方形；
②当AP=时，四边形BODC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PC切半圆O于点C，

∴OC⊥PC，

∵AM⊥AB，

∴∠OAP=90°，

在Rt△OAP和Rt△OCP中

，

∴Rt△OAP≌Rt△OCP

（2）2；2
【解析】（2）解：①∵Rt△OAP≌Rt△OCP，

∴PA=PC，

而OA=OC，

∴当AO=AP时，四边形OAPC为菱形，

而∠OAP=90°，

∴四边形OAPC是正方形，

此时AP=OA=2；

②∵四边形BODC是菱形，

∴OB=OD=CD=BC，BC∥OD，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠AOP=60°，

在Rt△OAP中，∵tan∠AOP= ，

∴AP=2tan60°=2 ，

即AP=2 时，四边形BODC是菱形．

所以答案是2，2 ．