Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=BC，∠CAB=30°，AC=8，半径为2的⊙O从点A开始（如图1）沿直线AB向右滚动，滚动时始终与直线AB相切（切点为D），当⊙O与△ABC只有一个公共点时滚动停止，作OG⊥AC于点G．
（1）图1中，⊙O在AC边上截得的弦长AE=；
（2）当圆心落在AC上时，如图2，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）在⊙O滚动过程中，线段OG的长度随之变化，设AD=x，OG=y，求出y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：BC与⊙O相切，

理由：如图2，过点O作OH⊥BC于H，连接OD，

∵⊙O与AB相切于D，

∴OD⊥AB，

在Rt△AOD中，∠A=30°，

∴OA=2OD=4，

∵AC=8，

∴OC=4，

在△ABC中，AB=AC，

∴∠C=∠BAC=30°，

在Rt△OHC中，∠C=30°，

∴OH= OC=2=OD，

∴BC与⊙O相切，

（3）解：①当点O在AC的左侧时，

连接OD交AC于F，如备用图1，

∵⊙O与AB相切于D，

∴OD⊥AB，

∵OG⊥AC，

∴∠FOG=∠BAC=30°，

在Rt△FDA中，tan∠BAC= ，

∴FD=ADtan∠BAC= x，

∴OF=2﹣ x，

在Rt△FOG中，y=OG=OFcos∠FOG=（2﹣ x）× =﹣ x+ ，

x的取值范围为0≤x≤2 ；

②当点O在AC的右侧时，

连接DO并延长交AC于F，如备用图2，

同①的方法得，FD= x，

∴OF= x﹣2，

∵FD⊥AB，

∴∠BAC+∠AFD=90°，

∴∠FOG=∠BAC=30°，

在Rt△FOG中，y=OG=OFcos∠FOG=（ x﹣2）× = x﹣ ，

x的取值范围为2 ≤x≤ ．

【解析】解：（1）∵⊙O与直线AB相切于点D，

∴∠ODB=90°，

当点D与点A重合时，

连接OA，OE，

∴OA=OE，

∵∠BAC=30°，

∴∠OAC=60°，

∴△OAE是等边三角形，

∴AE=OA=2，

所以答案是2；