Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：将A、B点坐标代入函数解析式，得 ，

解得 ，

抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3

（2）解：将抛物线的解析式化为顶点式，得

y=（x﹣1）2﹣4，

M点的坐标为（1，﹣4），

M′点的坐标为（1，4），

设AM′的解析式为y=kx+b，

将A、M′点的坐标代入，得

，

解得 ，

AM′的解析式为y=2x+2，

联立AM′与抛物线，得

，

解得 ，

C点坐标为（5，12）．

S△ABC= ×4×12=24

（3）解：存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，

由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得

P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），

①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，

将A点坐标代入函数解析式，得

a（﹣1﹣1）2﹣2=0，

解得a= ，

抛物线的解析式为y= （x﹣1）2﹣2，

②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将

A点坐标代入函数解析式，得

a（﹣1﹣1）2+2=0，

解得a=﹣ ，

抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣1）2+2，

综上所述：y= （x﹣1）2﹣2或y=﹣ （x﹣1）2+2，使得四边形APBQ为正方形．

【解析】（1）根据待定系数法，将A、B点坐标代入函数解析式，即可求解。
（2）先求出顶点坐标，根据轴对称的性质，可求得点M′的坐标，再求出直线AM′的解析式，再将两函数解析式联立，建立方程组，求解即可求出点C的坐标，然后求出△ABC的面积。
（3）根据正方形的性质，求得P、Q两点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式。
【考点精析】掌握确定一次函数的表达式和正方形的性质是解答本题的根本，需要知道确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．