Question

【题目】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点．

（Ⅰ）如图1，求∠DAO的大小及线段DE的长；

（Ⅱ）过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．连接OE，△OEF′是△OEF关于直线OE对称的图形，记直线EF′与射线DC的交点为H，△EHC的面积为3 ．

①如图2，当点G在点H的左侧时，求GH，DG的长；

②当点G在点H的右侧时，求点F的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∠DAO=60°,DE=2; （Ⅱ）①GH=6，DG=﹣3+;②F（﹣5﹣，0）．

【解析】解：（Ⅰ）∵A（﹣2，0），D（0，2）∴AO=2，DO=2，∴tan∠DAO==，

∴∠DAO=60°，∴∠ADO=30°，∴AD=2AO=4，∵点E为线段AD中点，∴DE=2；

（Ⅱ）①如图2，

过点E作EM⊥CD，∴CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DEsin60°=，∴GH=6，

∵CD∥AB，∴∠DGE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，∴△OEF′≌△OEF，∴∠OFE=∠OF′E，

∵点E是AD的中点，∴OE=AD=AE，

∵∠EAO=60°，∴△EAO是等边三角形，∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，∴∠EOF′=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠AEO，∴AD∥OF′，∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEH=∠DGE，

∵∠DEH=∠EDG，∴△DHE∽△DEG，∴，∴DE2=DG×DH，

设DG=x，则DH=x+6，∴4=x（x+6），∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣，∴DG=﹣3+．

②如图3，

过点E作EM⊥CD，∴CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DEsin60°=，∴GH=6，

∵CD∥AB，∴∠DHE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，∴△OEF′≌△OEF，∴∠OFE=∠OF′E，

∵点E是AD的中点，∴OE=AD=AE，

∵∠EAO=60°，∴△EAO是等边三角形，∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，∴∠EOF′=∠EOA=60°，∴∠EOF′=∠AEO，∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEG=∠DHE，

∵∠DEG=∠EDH，∴△DGE∽△DEH，∴，∴DE2=DG×DH，

设DH=x，则DG=x+6，∴4=x（x+6），∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣，

∴DH=﹣3+．∴DG=3+∴DG=AF=3+，∴OF=5+，∴F（﹣5﹣，0）．