Question

【题目】如图，抛物线的顶点坐标为C（0，8），并且经过A（8，0），点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE．

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；

（3）求：①当△PDE的周长最小时的点P坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+8；（2）PD与PF的差是定值，PD﹣PF=2；（3）①P（4，6），此时△PDE的周长最小；②共有11个令S△DPE为整数的点．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+h）2+k

∵点C（0，8）是它的顶点坐标， ∴y=ax2+8

又∵经过点A（8，0），

有64a+8=0，解得a=

故抛物线的解析式为：y=x2+8；

（2）是定值，解答如下：

设P（a，a2+8），则F（a，8），

∵D（0，6），

∴PD=

PF=，

∴PD﹣PF=2；

（3）当点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，

∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，

∴PE+PD=PE+PF+2，

∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，

此时点P，E的横坐标都为4，

将x=4代入y=x2+8，得y=6，

∴P（4，6），此时△PDE的周长最小．

过点P做PH⊥x轴，垂足为H．

设P（a，a2+8）

∴PH=a2+8，EH=a-4，OH=a

S△DPE=S梯形PHOD-S△PHE-S△DOE

=

=

=

∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点）

∴0≤a≤8

当a=6时，S△DPE取最大值为13．

当a=0时，S△DPE取最小值为4．

即4≤S△DPE≤13

其中，当S△DPE=12时，有两个点P．

所以，共有11个令S△DPE为整数的点．