Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC=90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE//AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD、AE．

（1）求证：△ABC∽△BGA；
（2）若AF=5，AB=8，求FG的长；
（3）当AB=BC，∠DBC=30°时，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠ABC=90°，F是AC的中点，

∴BF= AC=AF，

∴∠FAB=∠FBA，

∵AG⊥BE，

∴∠AGB=90°，

∴∠ABC=∠AGB，

∴△ABC∽△BGA；

（2）

∵AF=5，

∴AC=2AF=10，BF=5，

∵△ABC∽△BGA，

∴ ，

∴BG= = = ，

∴FG=BG﹣BF= ﹣5=

（3）

延长ED交BC于H，如图所示：

则DH⊥BC，

∴∠DHC=90°，

∵AB=AC，F为AC的中点，

∴∠C=45°，∠CBF=45°，

∴△DHC、△BEH是等腰直角三角形，

∴DH=HC，EH=BH，

设DH=HC=a，

∵∠DBC=30°，

∴BD=2a，BH= a，

∴EH= a，

∴DE=（ ﹣1）a，

∴ = ．

【解析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出BF=AF，得出∠FAB=∠FBA，再由∠ABC=∠AGB=90°，即可证出△ABC∽△BGA；（2）先求出AC、BF，再由三角形相似得出比例式 ，求出BG，即可得出FG；（3）延长ED交BC于H，则DH⊥BC，先证出△DHC、△BEH是等腰直角三角形，得出DH=HC，EH=BH，设DH=HC=a，求出BD=2a，BH= a，得出EH、DE，即可求出 的值．
【考点精析】利用相似三角形的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．