Question

【题目】如图①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．

（1）试猜想线段BG和AE的数量关系；

（2）如图②，将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），判断（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

(3)若BC=DE=2,在（2）的旋转过程中,求线段AE长的最大值和最小值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）成立（3）线段AE长的最大值是3，最小值是1.

【解析】整体分析：

（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG即可；（2）①如图2，连接AD，证明△ADE≌△BDG；（3）由（1）可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，画出图形，根据图形求解．

解：（1）∵△ABC是等腰三角形，∴BD=DA,

∵四边形DEFG是正方形，所以GD=DE,∠GDB=∠EDA=90°；

∴△BDG≌△ADE；

∴BG=AE；

（2）成立，证明如下：

连接AD,

∵Rt△BAC中,D为斜边BC的中点,

∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°,

∵EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°,

∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE,

△BDG和△AED中，BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，

∴△BDG≌△ADE,

∴BG=AE；

（3）由（2）得BG=AE,当BG取得最大值时,AE取得最大值；

当旋转角度为270°时，如图，

BG的最大值为1+2=3，

所以AE的最大值为3；

当旋转角度为90°时，如图，

BG的最小值为2-1=1，

所以AE的最小值为1.

所以线段AE长的最大值是3，最小值是1.