Question

【题目】二次根式的化简中，若被开方数还有根号，有的能将被开方数化成另一个二次根式的平方的形式，比如：，聪明的你可以继续探究，当a，b，m，n为正整数时，若，则有，所以．模仿上述探究解决下列问题：

（1）当a，b，m，n为正整数时，，请用含m，n的代数式分别表示a，b：a= ，b= ．

（2）填空：=（ + ）2

（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）=(1+2)2；（3）或或或.

【解析】

（1）模仿探究过程，将等式右边利用完全平方公式展开，两个实数相等，有理数部与有理数部相等，无理数部与无理数部相等的原则即可求解；

（2）利用待定系数法，设=(m+n)2，其中m，n为正整数，模仿探究过程，得到方程组求解即可；

（3）模仿探究过程，将等式右边利用完全平方公式展开，两个实数相等，有理数部与有理数部相等，无理数部与无理数部相等的原则得到方程组，利用a，m，n均为正整数，列举法即可求解；

解：（1）∵，∴，∴

，；

（2）设=(m+n)2，依据上述方法得到方程组

，且m,n为正整数，

解得，

∴=(1+2)2，

（3）∵，

∴，且m，n，a均为正整数，

∴或或或，

∴或或或.