Question

【题目】如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于．

（1）若时，求的长；

（2）当时，求的长；

（3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2（2）2（3）DE＝3为定值，理由见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠A＝60，根据三角形内角和定理得到∠APE＝30，根据直角三角形的性质计算；

（2）过P作PF∥QC，证明△DBQ≌△DFP，根据全等三角形的性质计算即可；

（3）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60，

∵PE⊥AB，

∴∠APE＝30，

∵AE＝1，∠APE＝30，PE⊥AB，

∴AP＝2AE＝2；

（2）解：过P作PF∥QC，

则△AFP是等边三角形，

∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP，

∴BQ＝PF，

在△DBQ和△DFP中，

，

∴△DBQ≌△DFP，

∴BD＝DF，

∵∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30，

∴BD＝DF＝FA＝AB＝2，

∴AP＝2；

（3）解：由（2）知BD＝DF，

∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，

∴AE＝EF，

∴DE＝DF＋EF＝BF＋FA＝AB＝3为定值，即DE的长不变．