Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F．
（1）如图（1），过A的直线与斜边BC不相交时，求证：①△ABE≌△CAF； ②EF=BE+CF

（2）如图（2），过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，试求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

①∵BE⊥EF，CF⊥EF，

∴∠AEB=∠CFA=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB+∠FAC=90°，

∴∠EBA=∠FAC，

在△AEB与△CFA中

∴△ABE≌△CAF（AAS），

②∵△ABE≌△CAF，

∴EA=FC，EB=FA，

∴EF=AF+AE

=BE+CF

（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF

∴∠AEB=∠CFA=90°

∴∠EAB+∠EBA=90°

∵∠BAC=90°

∴∠EAB+∠FAC=90°

∴∠EBA=∠FAC，

在△AEB与△CFA中

∴△ABE≌△CAF（AAS），

∴EA=FC，EB=FA，

∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7

【解析】（1）①由条件可求得∠EBA=FAC，利用AAS可证明△ABE≌△CAF；②利用全等三角形的性质可得EA=FC，EB=FA，利用线段的和差可证得结论；（2）同（1）可证明△ABE≌△CAF，可证得EF=FA﹣EA，代入可求得EF的长．