Question

【题目】已知抛物线y=x2﹣4x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点．

（1）若m=5时，求△ABD的面积．

（2）若在（1）的条件下，点E在线段BC下方的抛物线上运动，求△BCE面积的最大值．

（3）写出C点（ ， ）、C′点（ ， ）坐标（用含m的代数式表示）

如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）△ABD的面积为27；（2）△BCE面积的最大值是；

（3）C（0，﹣m），C′（4，﹣m），Q点和P点的坐标分别是：Q（2，4﹣m），P（2，﹣4﹣m）或Q（2，12﹣m），P（6，12﹣m） 或Q（2，12﹣m），P（﹣2，12﹣m）．

【解析】分析：（1）将m=5代入y=x2﹣4x﹣m，得y=x2﹣4x﹣5，求出A、B、D三点的坐标，根据三角形面积公式即可求出△ABD的面积；

（2）点E在线段BC下方的抛物线上时，设E（m，m2﹣4m﹣5），过点E作y轴的平行线交BC于F．利用待定系数法求出直线BC的解析式，可用含m的代数式表示点F的坐标，继而可得线段EF的长，然后利用S△BCE=S△CEF+S△BEF=EFBO，得出S关于m的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质求出最大值；

（3）把x=0代入y=x2﹣4x﹣m，求出C点坐标，再根据二次函数的对称性求出C′点的坐标；以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，可分两种情况：①CC′为对角线，由平行四边形对角线的性质可求出Q点和P点的坐标；②CC′为一条边，根据平行四边形对边平行且相等，亦能求出Q点和P点的坐标．

详解：（1）若m=5时，抛物线即为y=x2﹣4x﹣5，令y=0，得x2﹣4x﹣5=0，解得x=5或x=﹣1，则A（﹣1，0），B（5，0），AB=6．

∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴顶点D的坐标为（2，﹣9），∴△ABD的面积=×AB×|yD|=×6×9=27；

（2）如图1，过点E作y轴的平行线交BC于F．

在（1）的条件下，有y=x2﹣4x﹣5，则C（0，﹣5），设直线BC的解析式为y=kx﹣5（k≠0）．

把B（5，0）代入，得：0=5k﹣5，解得：k=1．

故直线BC的解析式为：y=x﹣5．

设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），∴S△BCE=EFOB=×（m﹣5﹣m2+4m+5）×5=﹣（m﹣）2+，即S△BCE=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，△BCE面积的最大值是；

（3）∵y=x2﹣4x﹣m（m＞0），∴x=0时，y=﹣m，对称轴为直线x=2，∴C（0，﹣m）．

∵C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点，∴C′（4，﹣m）．

以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：

①线段CC′为对角线，如图2．

∵平行四边对角线互相平分，∴PQ在对称轴上，此时P点为抛物线的顶点，与D点重合．

∵y=x2﹣4x﹣m=（x﹣2）2﹣4﹣m，∴P（2，﹣4﹣m）．

∵线段PQ与CC′中点重合，C（0，﹣m），C′（4，﹣m），设Q（2，y），∴=﹣m，解得：y=4﹣m，∴Q（2，4﹣m）；

②线段CC′为边，如图3．

∵以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ=CC′=4，设点Q的坐标为（2，y），则点P坐标为（6，y）或（﹣2，y）．

∵点P在抛物线上，将x=6和x=﹣2分别代入y=x2﹣4x﹣m中，解得y均为12﹣m，故点P的坐标为（6，12﹣m）或（﹣2，12﹣m），Q（2，12﹣m）．

综上所述：如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，Q点和P点的坐标分别是：

Q（2，4﹣m），P（2，﹣4﹣m）或Q（2，12﹣m），P（6，12﹣m） 或Q（2，12﹣m），P（﹣2，12﹣m）．