Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，DF⊥BE交BE的延长线于点G，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）若∠DBE=∠CBE，求证：BD=BF．
（3）在（2）的条件下，求CE：ED的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，

∴∠CBE﹢∠BEC=90°，

又∵BG⊥DF，

∴∠CBE﹢∠F=90°，

∴∠BEC=∠F，

在△BCE与△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（AAS）

（2）解：证明：∵BG⊥DF

∴∠BGD=∠BGF

在△DBG与△FBG中，

，

∴△DBG≌△FBG（ASA），

∴BD=BF；

（3）解：解：延长AD、BG交于点H．

∵BD=BF，BG⊥DF，

∴∠DBG∠FBG，

∵AD∥BC，

∴∠H=∠FBG，

∴∠DBH=∠H，

∴DB=DH，

∵AH∥BC，

∴△BCE∽△HDE，

∴CE：DE=BC：DH，

∴CE：DE=BC：DB．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC：BD=1： ．

∴CE：DE=1： ，

∴CE：DE的值为 ．

【解析】（1）根据四边形ABCD是正方形可知BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，再由BG⊥DF，可知∠CBE﹢∠F=90°，根据AAS定理即可得出△BCE≌△DCF；（2）根据ASA定理得出△DBG≌△FBG，由全等三角形的性质即可得出结论；（3）延长AD、BG交于点H，由全等三角形的判定定理得出△BCE∽△HDE，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用正方形的性质和相似三角形的判定与性质，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．