Question

【题目】在四边形中，点为边上的一点，点为对角线上的一点，且.

（1）若四边形为正方形.

①如图1，请直接写出与的数量关系___________；

②将绕点逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）①DF=AE，②DF=AE，理由见解析；（2）DF′=AE′.

【解析】

试题分析：（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF=AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD﹣BF=AB﹣BE，从而得到DF=AE；

②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上=，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以=；

（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=AB，再证明△BEF∽△BAD得到，则=，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以=，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得=．

试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，

∴BF=AB，

∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF=BE，

∴BD﹣BF=AB﹣BE，即DF=AE；

故答案为DF=AE；

②DF=AE．理由如下：

∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE=∠DBF，

∵=，=，∴，

∴△ABE∽△DBF，∴=，

即DF=AE；

（2）如图3，∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=mAB，∴BD==AB，

∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，

∴，∴=，

∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，

∴=，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴=，

即DF′=AE′．