Question

【题目】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形.

（1）求证：BD=CE；
（2）如图2，若BD的中点为P ， CE的中点为Q ， 请判断△APQ的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC =∠DAE=60°.

∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，即∠BAD =∠CAE.

在△ABD与△ACE中 ，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD=CE

（2）解：△APQ是等边三角形，理由如下

∵P是BD中点，Q是CE中点，BD=CE,∴BP=CQ .

∵△ABD≌△ACE ∴∠ABP=∠ACQ .

在△ABP与△ACQ中 ∵ ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，

∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ ，

∴∠BAP+∠CAP =∠CAQ+∠CAP，

∴∠PAQ=∠BAC=60°

∴△APQ是等边三角形

【解析】第1小题，根据两个等边三角形得到AB=AC，AD=AE，∠BAC =∠DAE=60°，然后用边角边可证明△ABD≌△ACE，问题得证；第2小题，由第1问的结论和第2问的已知条件可证△ABP≌△ACQ，得到AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，从而可得∠PAQ=∠BAC=60°，于是问题可得证。