【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的面积；

（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；

（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（4）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

参考答案：

【答案】（1）18；（2）3；（3）t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；（4）t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分

【解析】试题分析：(1)、根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．(2)、因为AB与CB，由勾股定理得AC="4" 因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．(3)、分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．

试题解析：(1)、如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，

∴出发2秒后，则CP=2， ∵∠C=90°， ∴PB==，

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7．

(2)、①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，

此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；

②若P在AB边上时，有三种情况： i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，

所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm， 作CD⊥AB于点D，

在Rt△PCD中，PD===1.8， 所以BP=2PD=3.6cm，

所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm， 则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；

ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm

则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；

综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形

(3)、如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t+2t﹣3=3， ∴t=2；

如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t﹣4+2t﹣8=6， ∴t=6，

∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

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