Question

【题目】如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．

（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；

（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AE=EF，证明见解析.

【解析】

（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．证明△AHE≌△EDF，根据全等三角形的性质可得AE=EF；（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，类比（1）的方法可证AE=EF；如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．类比（1）的方法可证AE=EF．

（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．

∵BC=AB=BD，BE=BH，

∴AH=ED，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠FED=∠HAE，

∵∠BHE=∠CDB=45°，

∴∠AHE=∠EDF=135°，

∴△AHE≌△EDF，

∴AE=EF．

（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：AE=EF

如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：AE=EF．