Question

【题目】如图1，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E 是对称轴l 右侧抛物线上一点，且S△ADE=2S△AOC ， 求点E 的坐标；
（3）如图2，连接DC 并延长交x 轴于点F，设P 为线段BF 上一动点（不与B、F 重合），过点P 作PQ∥BD 交直线BC 于点Q，将直线PQ 绕点P 沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交DF 于点R，连接QR．请直接写出当△PQR 与△PFR 相似时点P 的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得 ，解得 ，

∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：设E（m，m2﹣2m﹣3），过点E作EM∥x轴，交AD于点M，（如图1）

由y=x2﹣2x﹣3=（ x﹣1）2﹣4得顶点D（1，﹣4），C（0，﹣3），

∴ ，

∴S△ADE=2S△AOC=3，

∵A（﹣1，0）、D（1，﹣4），

∴直线AD为：y=﹣2x﹣2，

∵E（m，m2﹣2m﹣3），

∴M（ ，m2﹣2m﹣3），

∴EM= ，

∴S△ADE ×4×EM=2EM=m2﹣1=3，

解得m=±2（其中m=﹣2舍去），

∴E（2﹣3）；

（3）

解：∵C（0，﹣3），D（1，﹣4），

∴直线CD的解析式为：y=﹣x﹣3．

当y=0时，x=﹣3，

故F（0，﹣3），

∴OF=OC=3，

∴∠OFC=45°，即∠PFR=45°．

∵PQ∥BD，

∴∠FPQ≠90°，

∴∠FPR≠45°，

∴当△PQR 与△PFR 相似时：

△PQR∽△FRP，则

点P的坐标是：P1（ ，0）、P2（0，0）．

【解析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得二次函数的表达式；（2）设E（m，m2﹣2m﹣3），过点E作EM∥x轴，交AD于点M，由条件可得△AOC的面积，从而可求得△ADE的面积，利用待定系数法可求得直线AD的解析式，则可用m表示出EM的长，从而可用m表示出△ADE的面积，从而可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由C、D坐标可求得直线CD的解析式，从而可求得F点坐标，可求得OF=OC，可得∠RFP=∠RPQ=45°，由△PQR 与△PFR 相似得到：△PQR∽△FRP 或△PQR∽△FPR，结合相似三角形的对应边成比例得到点P的坐标．
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和三角形的面积，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；三角形的面积=1/2×底×高即可以解答此题．