Question

【题目】已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝，把△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF.如果E是BC的中点，AC与DE交于P点，以直线BC为x轴，点E为原点建立直角坐标系．

(1)求△ABC与△DEF的顶点坐标；

(2)判断△PEC的形状；

(3)求△PEC的面积．

Answer 1

【答案】(1) A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，D(1，1)，E(0，0)，F(2，0)；(2)△PEC是等腰直角三角形；(3)S△PEC＝.

【解析】整体分析：

（1）根据勾股定理和平移的性质求出△ABC与△DEF的顶点到点E的距离或到点A的距离；（2）根据平移的性质得DE∥AB，即可判断△PEC的形状；（3）△PEC的面积等于两条直角边乘积的一半.

解：(1)连接AE，CD.

∵△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，

∴AE⊥BC，∴AE2＋CE2＝2CE2＝AC2，∴CE＝AC.

∵△DEF是由△ABC平移得到的，

∴CE＝AE＝BE＝CF＝CD＝AC＝×＝1，EF＝2CE＝2.

∴A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，D(1，1)，E(0，0)，F(2，0)．

(2)根据平移的性质，可知DE∥AB，

∴∠PEC＝∠B＝45°，∠EPC＝∠A＝90°，

∴△PEC是等腰直角三角形．

(3)S△PEC＝PC·PE＝PC2＝×CE2＝.

所以S△PEC＝.