Question

【题目】（1）探究证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）发现探究：

当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，如果不成立，DE、AD、BE应满足的关系是_____．

（3）解决问题：

当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，若BE=8，AD=2，请直接写出DE的长为_____．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE+BE=AD；（3）6．

【解析】试题分析：（1）由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明）△ADC≌△CEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；

（2）根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；

（3）先同（2）的方法得出DE=BE-AD，代值即可得出结论．

试题解析：证明：（1）如图1．∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE．在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠BEC，∠DAC=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB；

∴DC=BE，AD=EC．∵DE=DC+EC，∴DE=BE+AD．

（2）解：（1）中结论不成立，结论为：DE+BE=AD．理由如下：

如图2．∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°．

又∵AD⊥MN于点D，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE．

在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠BEC，∠DAC=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB；

∴CD=BE，AD=CE，∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．

故答案为：DE+BE=AD；

（3）解：如图3，同（2）的方法得，△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．∵BE=8，AD=2，∴DE=8﹣2=6．故答案为：6．