Question

【题目】如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN． 下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC=2S△ABE ．
其中正确的结论是 ． （填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①在△ACD和△ABE中， ∵ ，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
所以①正确；②∵△ACD≌△ABE，
∴CD=BE，∠NCA=∠MBA，
又∵M，N分别为BE，CD的中点，
∴CN=BM，
在△ACN和△ABM中，
∵ ，
∴△ACN≌△ABM，
∴AN=AM，∠CAN∠BAM，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC∠AMN，
∴△ABC∽△AMN，
所以②正确；③∵AN=AM，
∴△AMN为等腰三角形，
所以③不正确；④∵△ACN≌△ABM，
∴S△ACN=S△ABM ，
∵点M、N分别是BE、CD的中点，
∴S△ACD=2S△ACN ， S△ABE=2S△ABM ，
∴S△ACD=S△ABE ，
∵D是AB的中点，
∴S△ABC=2S△ACD=2S△ABE ，
所以④正确；
本题正确的结论有：①②④；
所以答案是：①②④．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．