Question

【题目】如图，直线与轴、轴分别交于两点，于点，点为直线上不与点重合的一个动点.

(1)求线段的长；

(2)当的面积是6时，求点的坐标；

(3)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，否则，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)； (2) (-4，6)； (3) (，)或(，)或(，)或(，)

【解析】

(1)先求得点A、B的坐标，可求得OA、OB、AB的长，利用面积法即可求得OM的长；

(2)先画图，确定△BOP面积可以BO为底，P到y轴距离为高求得P到y轴距离，再分类讨论求得答案；
(3)分△OMP≌△PQO与△OMP≌△OQP两种情况讨论，结合图象分析即可求解．

(1)对于直线，

令，则，令，则，

点A、B的坐标分别是(4，0)，(0，3)，

∴OA=4，OB=3，AB=，

∵，

∴；

(2)过P作PC⊥y轴于C，如图1，

∴OBPC=6，
∴PC=4，
∴点P的横坐标为4或-4，
∵点P为直线上的一个动点且不与A、B重合，
∴横坐标为4时，与A重合，不合题意，

∴横坐标为-4时，纵坐标为：，

∴当点P坐标为(-4，6)时，△BOP的面积是6；

(3)存在，理由如下：

①当△OMP≌△PQO时，如图2和图3，

由(1)得，

∴PQ=OM=，即P点横坐标为或，

纵坐标为：或，

此时点P的坐标为(，)，(，)；

②当△OMP≌△OQP时，如图4和图5，

∴OQ=OM=，即即点P、点Q纵坐标为或，

由，解得：；

由，解得：；

此时点P的坐标为(，)，(，)；

综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，)或(，)或(，) ．