Question

【题目】如图，一次函数y=k1x﹣1的图象经过A（0，﹣1）、B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为1．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）x轴上是否存在点Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数解析式为：y=；（2）P（5，0）；（3）Q点坐标为：（，0）．

【解析】

试题（1）利用已知点B坐标代入一次函数解析式得出答案，再利用△OBM的面积得出M点纵坐标，再利用相似三角形的判定与性质得出M点坐标即可得出反比例函数解析式；

（2）过点M作PM⊥AM，垂足为M，得出△AOB∽△PMB，进而得出BP的长即可得出答案；

（3）利用△QBM∽△OAM，得出=，进而得出OQ的长，即可得出答案．

解：（1）如图1，过点M作MN⊥x轴于点N，

∵一次函数y=k1x﹣1的图象经过A（0，﹣1）、B（1，0）两点，

∴0=k1﹣1，AO=BO=1，

解得：k1=1，

故一次函数解析式为：y=x﹣1，

∵△OBM的面积为1，BO=1，

∴M点纵坐标为：2，

∵∠OAB=∠MNB，∠OBA=∠NBM，

∴△AOB∽△MNB，

∴==，

则BN=2，

故M（3，2），

则xy=k2=6，

故反比例函数解析式为：y=；

（2）如图2，过点M作PM⊥AM，垂足为M，

∵∠AOB=∠PMB，∠OBA=∠MBP，

∴△AOB∽△PMB，

∴=，

由（1）得：AB==，BM==2，

故=，

解得：BP=4，

故P（5，0）；

（3）如图3，∵△QBM∽△OAM，

∴=，

由（2）可得AM=3，

故=，

解得：QB=，

则OQ=，

故Q点坐标为：（，0）．