Question

【题目】如图，在中，，厘米，厘米，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，速度为1厘米/秒，点从点开始沿方向运动，速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为秒．

（1）求出发2秒后，的长．

（2）点在边上运动时，当成为等腰三角形时，求点的运动时间．

Answer 1

【答案】（1）cm （2）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．

【解析】

（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．

解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= （cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：

则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：

则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．

③当BC=BQ时，如图3所示：

过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= =4.8（cm）
∴CE= =3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．