Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于点C（0，5），且过点D（1，8），M为其顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c上，

∴ ，

解方程组，得 ，

故抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5

（2）解：过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积= MNOB．

∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣（x﹣2）2+9，

∴M（2，9），B（5，0），

由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y=﹣x+5，

当x=2时，y=﹣2+5=3，则N（2，3），

则MN=9﹣3=6，

则S△MCB= ×6×5=15

（3）解：在抛物线上存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积．理由如下：

∵A（﹣1，0），B（5，0），

∴AB=6，

∵△PAB的面积=△MCB的面积，

∴ ×6×|yP|=15，

∴|yP|=5，yP=±5．

当yP=5时，﹣x2+4x+5=5，解得x1=0，x2=4；

当yP=﹣5时，﹣x2+4x+5=﹣5，解得x3=2+ ，x4=2﹣ ．

故在抛物线上存在点P1（0，5），P2（4，5），P3（2+ ，﹣5），P3（2﹣ ，﹣5），使△PAB的面积等于△MCB的面积．

【解析】（1）由A、C、D三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积= MNOB；（3）先由△PAB的面积等于△MCB的面积，求出AB边上的高即点P的纵坐标的绝对值，再将点P的纵坐标代入抛物线的解析式，得到一元二次方程，如果方程有实数根，则在抛物线上存在点P，否则不存在．
【考点精析】认真审题，首先需要了解抛物线与坐标轴的交点(一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．)．