Question

【题目】如图，O为坐标原点，四边彤OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，删△AOF的面积等于（ ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 6

Answer 1

【答案】A

【解析】 过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．

解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示．

设OA=a，BF=b，

在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，

∴AM=OAsin∠AOB=a，OM==a，

∴点A的坐标为（a， a）．

∵点A在反比例函数y=的图象上，

∴a×a=a2=12，

解得：a=5，或a=﹣5（舍去）．

∴AM=8，OM=6．

∵四边形OACB是菱形，

∴OA=OB=10，BC∥OA，

∴∠FBN=∠AOB．

在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，

∴FN=BFsin∠FBN=b，BN==b，

∴点F的坐标为（10+b， b）．

∵点F在反比例函数y=的图象上，

∴（10+b）×b=12，

S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=10

故选A．

“点睛”本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA.