Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．

（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；

（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；

（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）D（6，4）；y=﹣x2+x+4；（2）；（3）当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=t2﹣3t+12

【解析】试题分析：（1）用待定系数法求抛物线解析式；（2）由GH∥A1O1，求出GH=1，再求出FH，S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH计算即可；（3）分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．

∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣9）， ∵C（0，4）在抛物线上， ∴4=﹣27a，

∴a=﹣， ∴设抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，

∵CD垂直于y轴，C（0，4） ∴﹣x2+x+4=4， ∴x=6， ∵D（6，4），

（2）如图1， ∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点，∴F（3，）， ∴FH=，

∵GH∥A1O1， ∴， ∴， ∴GH=1，

∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，

∴S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．

（3）①当0＜t≤3时，如图2， ∵C2O2∥DE， ∴， ∴， ∴O2G=t，

∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2，

②当3＜t≤6时，如图3， ∵C2H∥OC， ∴， ∴， ∴C2H=（6﹣t），

∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH=OA×OC﹣C2H×（t﹣3）=×3×4﹣×（6﹣t）（t﹣3）=t2﹣3t+12

∴当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=t2﹣3t+12．