Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为3，点0是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：在BE上截取BG=CF，连接OG，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=3，∠BCD=∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，OB=OC，

∵Rt△BCE中，CF⊥BE，

∴∠EBC=∠ECF，

∴∠OBG=∠OCF，

在△OBG与△OCF中， ，

∴△OBG≌△OCF（SAS），

∴OG=OF，∠BOG=∠COF，

∴OG⊥OF，

在Rt△BCE中，BC=DC=3，DE=2CE，

∴CE=1，

∴BE= = = ，

根据射影定理得：BC2=BFBE，

则32=BF ，解得：BF= ，

∴EF=BE﹣BF= ，

∵CF2=BFEF，

∴CF= ，

∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF= ，

在等腰直角△OGF中，OF2= GF2= ，

∴OF= ．

【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和正方形的性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．