Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD的外接圆的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠EAD，

∴ = ，

∴CD=ED

∵∠ACD=90°，

∴AD是⊙O的直径，

∴ = ，

∴AC=AE

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB= =10，

BE=10﹣AE=10﹣6=4，

设CD=DE=x，

BD=8﹣x，

在Rt△BDE中．BD2=DE2+BE2

（8﹣x）2+x2=42

x=3，即BD=3，

在Rt△ACD中，AD= =3

【解析】（1）根据角平分线的性质、圆周角、弧、弦之间的关系得到 = ，证明结论；（2）根据勾股定理求出AB，设CD=DE=x，根据勾股定理列出方程，求出x，计算即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角形的外接圆与外心(过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心)．