Question

【题目】二次函数yax2bxca0图象如图所示，下列结论：①abc0；②2ab0；③当m1时，abam2bm；④abc0；⑤若，且，则，其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧，则当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b=0，即，然后把b=-2a代入计算得到x1+x2=2．

解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线,

∴b=-2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧
∴当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴ax12+bx1-ax22-bx2=0，
∴a（x1+x2）（x1-x2）+b（x1-x2）=0，
∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b=0，即

∵b=-2a，
∴x1+x2=2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有②③⑤．
故选：C．