Question

【题目】如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别是BE，CD的中点，

（1）求证：△AMN是等边三角形．
（2）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD， ∠BAC=∠EAD=60°，
∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD，
∴M，N分别是BE，CD的中点，
∴EM= BE，DN= CD， ∴EN=DN，
∴EM+AE=DN+AD，即AN=AM，
∵∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形
（2）解：CD=BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°．
∵∠BAE=∠BAC∠EAC=60°∠EAC，∠DAC=∠DAE∠EAC=60°∠EAC，∠BAE=∠DAC，∴△ABE≌△ACD，∴CD=BE．
【解析】（1） 要证△AMN是等边三角形，根据已知条件可知只需证明AN=AM，根据△ABC和△ADE是等边三角形，得出BE=CD，再根据中点定义得出EN=DN， 就可证得AN=AM，根据一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，即可得证。
（2）CD=BE仍然成立，根据已知条件证明△ABE≌△ACD即可。