Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD=2CP，求点A的坐标．
（2）若图①中的点 P 恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数．
（3）如图②，在（I）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度（直接写出结果即可

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵D（0，8），

∴OD=BC=8，

∵OD=2CP，

∴CP=4，

设OB=OP=DC=x，

则DP=x﹣4，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，

即：82+（x﹣4）2=x2，

解得：x=10，

∵∠OPA=∠B=90°，

∴△ODP∽△PCA，

∴OD：PC=DP：CA，

∴8：4=（x﹣4）：AC，

则AC= =3，

∴AB=5，

∴点A（10，5）；

（2）

解：∵点 P 恰好是CD边的中点，

设DP=PC=y，

则DC=OB=OP=2y，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，

即：82+y2=（2y）2，

解得：y= ，

∵∠OPA=∠B=90°，

∴△ODP∽△PCA，

∴OD：PC=DP：CA，

∴8：y=y：AC，

则AC= = ，

∴AB=8﹣ = ，

∵OB=2y= ，

∴tan∠AOB= = = ，

∴∠AOB=30°；

（3）

解：作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，

∵AP=AB，MQ∥AN

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= =4 ，

∴EF= PB=2 ，

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2 ．

【解析】（1）设OB=OP=DC=x，则DP=x﹣4，在Rt△ODP中，根据OD2+DP2=OP2 ， 解得：x=10，然后根据△ODP∽△PCA得到AC= =3，从而得到AB=5，表示出点A（10，5）；（2）根据点P恰好是CD边的中点设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，根据OD2+DP2=OP2 ， 解得：y= ，然后利用△ODP∽△PCA得到AC= = ，从而利用tan∠AOB= 得到∠AOB=30°；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的结论求出PB，最后代入EF= PB即可得出线段EF的长度不变．