Question

【题目】如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．

（1）动手操作：利用尺规作以BC为直径的⊙O，⊙O交AB于点D，⊙O交AC于点E，并且过点D作DF⊥AC交AC于点F．
（2）求证：直线DF是⊙O的切线；
（3）连接DE，记△ADE的面积为S1 ， 四边形DECB的面积为S2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如下图所示，图形为所求；

（2）

证明：连接OD

∵DF⊥AC，

∴∠AFD=90°，

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠A=∠ODB

∴OD∥AC，

∴∠ODF=∠AFD=90°，

∴直线DF是⊙O的切线；

（3）

解：连接DE；

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

∵AC=BC，CD⊥AB，

∴AD=BD= AB=6，

∵四边形DECB是圆内接四边形，

∴∠BDE+∠C=180°，

∵∠BDE+∠ADE=180°，

∴∠C=∠ADE，

∵在△ADE和△ACB中，∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，

∴△ADE∽△ACB，

∴ = ，

∴ = ，

∵S△ABC=S△ADE+S四边形DECB，

∴ = = ，

∴ = ，即 = ．

【解析】（1）根据题意作出图形即可；（2）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ODB根据平行线的判定得到OD∥AC，由平行线的性质得到∠ODF=∠AFD=90°，于是得到结论；（3）连接DE；根据圆周角定理得到∠CDB=90°，即CD⊥AB，由等腰三角形的性质得到AD=BD= AB=6，根据圆内接四边形的性质得到∠BDE+∠C=180°，等量代换得到∠C=∠ADE，根据相似三角形的性质得到 = ，于是得到结论．