Question

【题目】已知二次函数y=（k是常数）．

（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；

（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y=都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；

（3）若抛物线y=与x轴交于A（，0）、B（，0）两点，且＜，=34，若与y轴不平行的直线y=ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于（，）、（，）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．

Answer 1

【答案】(1) k＜，且k≠0；(2) k＜0；x＜；(3)1，理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题意k≠0，△＞0，列出不等式组即可解决问题．

（2）设反比例函数解析式为y=，因为经过点（1，k），所以m=k，再根据条件即可确定k的值以及x的范围．

（3）结论：=1．令y=0，则有=0，所以+=，=，根据=34，列出方程求出k的值，设过点P的直线为y=kx+3﹣k，由消去y得+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，得=﹣（4k﹣2），=﹣3﹣4k，根据=，代入化简即可解决问题．

试题解析：（1）∵二次函数y=与x轴有两个不同的交点，

∴，

解得k＜，且k≠0．

所以若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，k的取值范围是k＜，且k≠0；

（2）设反比例函数解析式为y=，

∵经过点（1，k），

∴m=k，

∵反比例函数和二次函数y=都是y随x的增大而增大，

∴k＜0，x＜，即x＜．

（3）结论：=1．

理由：令y=0，则有=0，

∴+=，=

∵=34，

∴=34，

∴=0，

解得k=或，

由（1）可知k＜，

∴k=，

∴抛物线解析式为y=，

设过点P的直线为y=kx+b，把P（1，3）代入得3=k+b，

∴b=3﹣k，

∴过点P的直线为y=kx+3﹣k，

∵过点P的直线为y=kx+3﹣k与物线交于（，）、（，）两点，

∴=k+3﹣k，=k+3﹣k，

由消去y得+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，

∴=﹣（4k﹣2），=﹣3﹣4k ，

∴===1.