Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：交于点A．

（1）求出点A的坐标

（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的解析式

（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（6，3）；（2）y=﹣x+6；（3）存在满足条件的点的P，其坐标为（6，0）或（3，﹣3）或（，+6）．

【解析】（1）把x=0，y=0分别代入直线L1，即可求出y和x的值，即得到B、C的坐标，解由直线BC和直线OA的方程组即可求出A的坐标；（2）设D（x，x），代入面积公式即可求出x，即得到D的坐标，设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入即可求出直线CD的函数表达式；（3）存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，根据菱形的性质能写出Q的坐标．

（1）解方程组，得， ∴A（6，3）；

（2）设D（x， x），

∵△COD的面积为12，∴×6×x=12，

解得：x=4，∴D（4，2），

设直线CD的函数表达式是y=kx+b，

把C（0，6），D（4，2）代入得：，解得：，

∴直线CD解析式为y=﹣x+6；

（3）在直线l1：y=﹣x+6中，当y=0时，x=12，

∴C（0，6）

存在点P，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，

如图所示，分三种情况考虑：

（i）当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时OP1=OC=6，即P1（6，0）；

（ii）当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为（0，6），得到P2纵坐标为3，

把y=3代入直线直线CQ的解析式y=﹣x+6中，可得3=﹣x+6，解得x=3，此时P2（3，﹣3）；

（iii）当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，设P3（x，﹣x+6），

∴x2+（﹣x+6﹣6）2=62，解得x=3或x=﹣3（舍去），此时P3（3，﹣3+6）；

综上可知存在满足条件的点的P，其坐标为（6，0）或（3，﹣3）或（，+6）．