Question

【题目】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在弧AB的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．

（1）求证：OF=BG；

（2）若AB=4，求DC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）DC=

【解析】

试题分析：（1）直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出FO是△ABG的中位线，即可得出答案；（2）首选得出△FOE≌△CBE（ASA），则BC=FO=AB=2，进而得出AC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．

试题解析：（1）∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，点F恰好落在的中点，∴=，

∴∠AOF=∠BOF， ∵∠ABC=∠ABG=90°， ∴∠AOF=∠ABG， ∴FO∥BG， ∵AO=BO，

∴FO是△ABG的中位线， ∴FO=BG；

（2）在△FOE和△CBE中，， ∴△FOE≌△CBE（ASA）， ∴BC=FO=AB=2，

∴AC==2， 连接DB， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠ABC，

∵∠BCD=∠ACB， ∴△BCD∽△ACB， ∴=， ∴=， 解得：DC=．