Question

【题目】已知：如图，点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点，OC平分∠MON，在∠CON的内部取一点P（点A、P、B三点不在同一直线上），连接PA、PB．

（1）探索∠APB与∠MON、∠PAO、∠PBO之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）设∠OAP=x°，∠OBP=y°，若∠APB的平分线PQ交OC于点Q，求∠OQP的度数（用含有x、y的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°．

【解析】【试题分析】（1）分下面两种情况进行说明；

①如图1，点P在直线AB的右侧，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°，

②如图2，点P在直线AB的左侧，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，

（2）分两种情况讨论，如图3和图4.

【试题解析】

（1）分两种情况：

①如图1，点P在直线AB的右侧，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°，

证明：∵四边形AOBP的内角和为（4﹣2）×180°=360°，

∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO；

②如图2，点P在直线AB的左侧，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，

证明：延长AP交ON于点D，

∵∠ADB是△AOD的外角，

∴∠ADB=∠PAO+∠AOD，

∵∠APB是△PDB的外角，

∴∠APB=∠PDB+∠PBO，

∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO；

（2）设∠MON=2m°，∠APB=2n°，

∵OC平分∠MON，

∴∠AOC=∠MON=m°，

∵PQ平分∠APB，

∴∠APQ=∠APB=n°，

分两种情况：

第一种情况：如图3，∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ，即∠OQP=m°+x°+n°①

∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°，

∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ，即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②，

①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°，

∴∠OQP=180°+x°﹣y°；

第二种情况：如图4，∵∠OQP+∠APQ=∠MOC+∠PAO，

即∠OQP+n°=m°+x°，

∴2∠OQP+2n°=2m°+2x°①，

∵∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，

∴2n°=2m°+x°+y°②，

①﹣②得2∠OQP=x°﹣y°，

∴∠OQP=x°﹣y°，

综上所述，∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°．