Question

【题目】如图①，小聪在学习圆的性质时发现一个结论，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，则∠BAD=∠OAC．

（1）请你帮小聪证明这个结论；

（2）运用以上结论解决问题：如图②，H为△ABC的垂心，若∠ABC的平分线BE⊥HO，⊙O的半径为10，求弦AC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）10.

【解析】试题分析：（1）作直径AE，连结CE，如图①，根据圆周角定理得到 然后利用等角的余角相等即可得到结论；
（2）作直径，延长交于，连结 如图②，根据圆周角定理得 再根据垂心的定义得则 于是可判断四边形为平行四边形，得到接着由得到 加上 所以为等腰三角形，得到 则 然后在中，利用勾股定理计算的长．

试题解析：(1)证明：作直径AE，连结CE，如图①，

∵AE为直径，

∵AD⊥BC，

∵∠AEC=∠ABD，

∴∠BAD=∠EAC，

即∠BAD=∠OAC；

(2)作直径CF，延长AH交BC于D，连结AF、BF、BH、OB，如图②，

∵CF为直径，

∵AH⊥BC，BH⊥AC，

∴四边形AHBF为平行四边形，

∴AF=BH，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

由(1)的结论得∠ABH=∠CBO，

∴∠HOE=∠OBE，

∵OH⊥BE，

∴△BOH为等腰三角形，

∴BH=OB=10，

∴AF=BH=10，

在中，∵CF=20，AF=10，