Question

【题目】已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．

(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝.

①求该抛物线的函数解析式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①y＝x2－5x＋6②该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点

【解析】试题分析：（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根据△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）①根据对称轴方程得到=-，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；

②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=52-4（6+k）=0，然后解关于k的方程即可．

试题解析：（1）y=（x-m）2-（x-m）=x2-（2m+1）x+m2+m，

∵△=（2m+1）2-4（m2+m）=1＞0，

∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）①∵x=-，

∴m=2，

∴抛物线解析式为y=x2-5x+6；

②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，

∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点，

∴△=52-4（6+k）=0，

∴k=，

即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．