Question

【题目】如图，是正方形的对角线，点是的中点，点是上一点，连接于点交于点连接．

求证：（1）；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

（1）由正方形的性质，得到BC=CD，∠B=∠PCD=90°，由，则∠DEC=90°，利用等角的余角相等，得到∠BCQ=∠CDE，即可得到；

（2）连接OB，由（1）可知BQ=CP，由正方形的性质得到∠OBQ=∠OCP=45°，OB=OC，然后得到△OBQ≌△OCP，即可得到OQ=OP.

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠PCD=90°，

∵，

∴∠DEC=90°，

∴∠BQC+∠BCQ =90°，∠DCE+∠CDE=90°，

∵AB∥CD，

∴∠BQC=∠DCE，

∴∠BCQ=∠CDE，

∴（ASA）；

（2）如图，连接OB，

由（1）可知，，

∴BQ=CP，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OBQ=∠OCP=45°，OB=OC，

∴△OBQ≌△OCP（SAS），

∴.